Chapitre IV.

LE JEU DE PILE OU FACE
(La fin des longues parties).

32. Le triangle arithmétique de Pascal. — Pour passer des parties courtes aux parties plus longues, le premier moyen consiste à continuer vers le bas les tableaux du § 28. Voici comment on opère pour écrire la cinquième ligne du premier de ces tableaux.



On place un i dans la première colonne et un 5 dans la seconde. Dans la troisième colonne, on fait figurer le total de quatre premiers nombres de la seconde. Et ainsi de suite.
Cette cinquième ligne renferme bien six nombres, dont la somme est 32, c'est-à-dire 2 à la puissance cinq :

2x2x2x2x2;

les nombres :

1    5    10    10    5    1
représentent les probabilités respectives des apparitions de
5p. 4 p. + 1F. 3 P.+ 2 F. 2 P. + 3 F. 1P. + 4F. 5 F.
Telle est la loi de formation de ce qu'on appelle le triangle arithmétique, découvert jadis par Biaise Pascal, au moment où il s'occupait des combinaisons ou, comme l'on dit, de l'analyse combinatoire (1).
Nous avons dressé ci-contre (pp. 52-53) le triangle arithmétique, en le prolongeant jusqu'à la vingtième ligne, ce qui nous

(1) Chacune des lignes du triangle de Pascal donne les coefficients de la « formule du binôme» de Newton.