Fiabilité d'une méthode (suite 2)
Une deuxième approche équivalente consiste à analyser, au fil des échantillons (on peut par exemple considérer 50 échantillons de 100 tirages), la variation (positive ou négative) de la réussite d'une méthode par rapport à ce que l'on est en droit d'en attendre. La méthode sera probablement fiable si cette variation n'excède pas, positivement ou négativement, ce qu'on est en droit d'attendre. Désolé, la certitude n'existe pas.
Pour ce faire, il faut étudier les dérives ou ballotages de la méthode au moyen de l'écart décadaire ou unité décimale d'écart, dont la définition est : "l'écart décadaire définit l'écart qui a la probabilité 1/10 d'être dépassé".
Ainsi pour les jeux équitables (p=0.5 = probabilité de gagner, q=0.5 = probabilité de perdre) :
- l'unité décimale d'écart est la racine carrée du nombre d'événements N
- la probabilité d'un écart n fois plus grand que l'unité décimale d'écart est 1/(10^(n^2))
Attention, ici n est différent de N.
Par exemple, pour une partie de 10 000 tirages (N = 10 000), l'unité décimale d'écart est la racine carrée de 10 000, soit 100.
La probabilité pour que l'on observe :
- moins de 4900 gains ou plus de 5100 gains est 1/10
- moins de 4800 gains ou plus de 5200 gains est 1/10 000
- moins de 4700 gains ou plus de 5300 gains est 1/1 000 000
Remarque en passant. C'est de cette règle que l'on déduit aisément la loi des grands nombres qui exprime que la probabilité d'un écart relatif donné, aussi petit soit-il, tend vers zéro quand le nombre de coups augmente indéfiniment.
Pour un jeu non équitable, de probabilités respectives p (gain) et q=1-p (perte) (je considère que la sortie du zéro est une perte), l'unité décimale d'écart se généralise en :
n * racine carrée (N) * racine carrée (4*p*q).
On peut alors dresser le tableau suivant pour une partie de 100 tirages (n=1, N=100), donnant la réussite moyenne et les sorties décadaires positives et négatives en fonction de divers pourcentage de réussite.
Comme exemple concret une méthode donnant une probabilité de gain de 0.25 sur des parties de 100 tirages. L'écart décadaire sur une partie de 100 tirages est donc :
racine carrée (100 * 4 * 0.25 * 0.75) = 8.66 (c'est l'indique bien le tableau) que l'on arrondit à 9.
Si la méthode a une réussite moyenne de 25% sur une partie de 100 tirages, la moyenne est de 25 gains affectée de l'écart décadaire, soit 25 +/- 9, donc entre 16 et 34.
Si on a 50 échantillons (parties), cela donne 5 écarts décadaires. Pour tenir compte de fluctuations toujours possibles, on prend 1.5 fois cette valeur, soit 7.5 arrondi à 8 écarts décadaires.
On en déduit alors que si on a plus de 8 parties comportant 34 gains ou plus, ou 16 gains ou moins, la méthode ne peut pas être considérée comme fiable, car il y a trop de variations internes.
(On peut montrer que cette approche est similaire à la première car l'écart décadaire affectant l'écart absolu est le double de celui affectant les gains.)
To be continued ...
On ne peut pas attendre que l'inspiration vienne. Il faut courir après avec une massue. (Jack London)
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