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[cessna]

voici un problème très important:


existe t il un carré latin d ordre 9 qui soit également pan- diabolique?


en d autres termes:

un carré 9*9

tous les chiffres de 1 à 9 sur lignes, colonnes, deux grandes diagonales

et

tous les chiffres de 1 à 9 sur TOUTES les diagonales brisées ascendantes et descendantes


ensuite:


1° démontrer que la solution, si solution il y a, est unique ou non


2° si la solution n existe pas, expliquer pourquoi


une sous variante élémentaire du problème peut être de poser 9 dames sur un échiquier qui n ont aucune interférences entre elles selon les modalités définies plus haut

[jayjay67]

Il est impossible d'avoir un carré latin pandiagonal de côté pair ou multiple de 3.

9 étant un multiple de 3, ce carré est donc impossible.

Verdict ?

[azgj2]

C'est la démonstration d'Euler

Idem pour le problème équivalent des dames, démontré par Polya.

[jayjay67]

tu as dû lire le même article que moi

[azgj2]

Peut-être, mais il y a longtemps. En fait, à une certaine époque, je me suis beaucoup intéressé à l'analyse combinatoire, la théorie des graphes, les méthodes heuristiques ...

De bien lointains souvenirs

[azgj2]

Une manière plutôt élégante de résoudre pas mal de problèmes liés aux carrés latins, magiques, ... est de représenter un tel carré sous forme de tore en reliant ses côtés opposés et en utilisant le principe des coordonnées tournantes. Les équations décrivant le problème à résoudre sont alors plus faciles à écrire et à résoudre. Pour ceux que cela intéresse au plan mathématique, il "suffit" de revoir la théorie des anneaux. Mais c'est très technique.

[cessna]

Euler traite de 6 ( les 36 grenadiers )

ici, on parle de 81

sujet tout différent

[azgj2]

Mais sa démonstration était généralisable. Celle de Polya est tout à fait générale.

[cessna]

en sommes nous bien certains?

[azgj2]

Oui, j'ai étudié cela dans les dernières années 1970.

[cessna]

et malgré cela, nous pensons que ce n est pas certain


c est atrocement complexe

[azgj2]

Oui, c'est complexe et c'est alors sans doute un problème de définition du problème. Une difficulté avec des résultats théoriques très techniques est de s'assurer qu'on est exactement dans le même contexte : mêmes définitions, mêmes hypothèses, mêmes contraintes, ... Mais pour les carrés latins pan-diagonaux tels que communément définis et le problème des 9 dames comme tu l'as cité, c'est sûr. C'est un sujet d'ailleurs très intéressant au plan informatique. La démonstration de Polya a permis, plus tard, la mise en oeuvre de toute une classe d'algorithmes heuristiques appliquant le principe "Diviser pour régner".

[cessna]

en fait le problème des 9 dames était une des pistes que j avais évoquée car elle permettait de fixer 9 points sur un échiquier

si 9 points étaient fixés, il fallait ensuite y ajouter les séquences


ceci était une des nombreuses approches qui a montré rapidement ses limitations, mais cela ne voulait pas dire que nos erreurs indiquaient l impossibilité

néanmoins, le but initial était de combiner des réductions théosophiques, qui m avaient toujours semblé moins précises que les nombres purs eux mêmes , d où ensuite nos recherches sur les constructions matricielles


mais à ce jour la pandiagonal latin de 9 reste toujours en suspens, même si personnellement je pense qu il n y a pas de solution non plus, suite à la démonstration que m a faite un mathématicien belge il ya trois ans sur d autres bases que Polya

[azgj2]

C'est le même problème en fait. La différence est un système de notation. Le théorème de Polya (ce n'est pas une conjecture) est un problème plus général, dont les carrés latins pan-diagonaux et le problème des dames à prise pan-diagonale d'ordre n, sont des occurrences particulières de parcours de graphes.

Démontrer qu'il y aurait une erreur dans la démonstration de Polya ou dans toute autre démonstration équivalente (en théorie des groupes par exemple) mériterait une publication, tant ce théorème a des prolongements et des conséquences importantes dans plusieurs branches des mathématiques appliquées.

[cessna]

oui, c est la raison pour laquelle mon principal associé a lancé cette recherche et pense qu il y a une solution


en parallèle de tout le reste d ailleurs