par artemuse » Mer Fév 25, 2009 2:47 am
En fait, il y a une raison simple. C'est que la dite méthode n'obtient aucun avantage mathématique, elle tourne autour de son espérance avec un ballotage normal de part et d'autre. Une méthode qui livre la marchandise doit donner des profits croissants sans avoir recours à des artifices comme à des montantes lorsque des pertes sont enregistrées etc. Deux ans de données sont suffisants pour dire avec une probabilité assez haute si la méthode est efficace ou non.
Un jours, maître Yoda m'avait expliqué ceci:
1ère partie : fluctuation de la réussite autour de la réussite moyenne (1ère version)
Question : Peut-on évaluer théoriquement la fluctuation que le résultat moyen d'une méthode de jeu connaîtra à l'avenir, à un niveau de confiance donné ?
Pour rappel, la loi binomiale permet de décrire la distribution de probabilité de k succès au sein de N essais :
Pk = C(N,k) * p^k * q^(N-k) où q = 1 - p et C(N,k) = le nombre de combinaisons de N éléments pris k par k, p est la probabilité de réussite d'un coup, Pk est la probabilité de k réussites.
On sait que pour cette loi, sa moyenne est donnée par Moyenne = N * p et son écart-type par S = racine carrée (N * p * q).
Pour N suffisamment grand, la loi binomiale peut être approximée par la loi normale.
Que signifie la notion d'écart-type, dans ce cas, et comment peut-elle nous aider à répondre à la question ?
L'écart-type décrit simplement la dispersion des résultats autour de la moyenne, de telle sorte que :
- l'intervalle constitué par la moyenne +/- 1 écart-type contiendra 68% des résultats
- l'intervalle constitué par la moyenne +/- 1.96 écart-type contiendra 95% des résultats
- l'intervalle constitué par la moyenne +/- 2 écarts-types contiendra 95.45% des résultats
- l'intervalle constitué par la moyenne +/- 3 écarts-types contiendra 99.87% des résultats
Cela signifie-t-il, par exemple, que si plus de 0.13% des résultats tombent en-dehors de l'intervalle moyenne +/- 3 écarts-types, on puisse déduire quelque chose sur la qualité du système de jeu ? Pas vraiment, en fait, il faut être plus fin dans l'analyse du comportement, de la régularité de la méthode.
On peut procéder de la manière suivante.
Prenons un exemple. Supposons qu'on ait une méthode qui a gagné dans 51% des cas sur une série de 100 essais. On veut alors déterminer quel sera le pourcentage de réussite le plus élevé et le moins élevé future à un niveau de 3 écarts-types (ou à un niveau de confiance de 99.87%).
La formule générale est :
L = p +/- Z * racine carrée (p * q / (N-1))
où p est la probabilité de réussite, q = 1-p
Z est le nombre d'écarts-types
N est le nombre d'essais.
Pour l'exemple pris, N = 100, p = 0.51, q = 0.49, Z = 3
Dans ce cas, L = 0.51 +/- 0.1507.
Cela signifie que, sur base de notre échantillon de 100 essais ayant eu une réussite de 51%, on aura une réussite future comprise entre 0.3593 et 0.6607 au niveau de confiance de 99.87% (cela suppose qu'on joue à
l'avenir un grand nombre de fois, en raison de l'approximation de la loi binomiale par la loi normale).
Cela signifie également que si, à un moment donné, la réussite tombe en-dessous de 35.93% ou au-dessus de 66.07%, il y a 0.13% de chance que la méthode de jeu ne soit pas suffisamment régulière.
On remarque qu'avec la formule générale ci-dessus, l'intervalle de fluctuation de la réussite autour de la moyenne se rétrécit lorsque N grandit. Cela ne constitue pas forcément un moyen simple et pratique de suivre la régularité d'un jeu. On verra un moyen alternatif plus pratique dans la 3ème partie.
2ème partie : taille minimum d'un échantillon
La fluctuation autour de la valeur moyenne peut également être utilisée pour déterminer combien de coups sont nécessaires pour qu'on puisse dire qu'un système soit profitable à un niveau de confiance donné.
Par exemple, supposons qu'on ait une méthode de jeu qui a montré un taux de réussite de 51% et qui rapporte un bénéfice de 1 pièce pour une mise de 1 pièce en cas de gain et qui fait perdre la mise en cas de perte.
Combien de coups sont nécessaires à ce taux de réussite pour être certain qu'il continuera à montrer ce taux dans le future au niveau de confiance de 99.87% (3 écarts-types) ?
On sait qu'un jeu est gagnant à long terme si son espérance mathématique de profit est positive.
Désignons alors par :
p la probabilité de gain du jeu
p' la probabilité de gain nul
Bn le bénéfice
Pt la perte
Dans ce cas, pour un profit nul, on doit avoir p' * Bn - (1-p') *Pt = 0 (c'est la formule de l'espérance mathématique du profit).
On en déduit que la probabilité p' doit être : p' = Pt / (Pt + Bn).
Il faut donc que p > p' pour avoir un jeu gagnant.
Dans ce cas, le nombre N d'essais est donné par la formule :
Z * racine carrée (p*(1-p)/(N-1)) = p-p'
où Z est l'écart-type
p la probabilité de réussite constatée du jeu
p' la probabilité pour un gain nul à long terme
N le nombre d'essais minimum recherché
On a donc :
N = p*(1-p)*(Z/(p-p'))^2 + 1
Ainsi pour p = 0.51
Pt = 1
Bn = 1
Z = 3
On trouve N = 22 492.
Cela signifie qu'il faut observer une réussite moyenne de 51% sur au moins 22 492 coups pour être certain à 99.87% qu'on aura encore une réussite moyenne de 51% dans le future.
3ème partie : fluctuation de la réussite autour de la réussite moyenne (2ème version)
A venir demain, là je suis fatigué.
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